判断269,437,1111112111111三个数是合数还是质数。

老王童

269是质数，437=19×23是合数
1111112111111 = 1111111×1000001 = 239×4649×101×9901
自然数1111112111111是合数

1  判断数1111112111111是质数还是合数？

解析

根据合数的意义，如果一个数能够写成两个大于1的整数的乘积，那么这个数是合数。

根据整数的意义，这个13位数可以写成：

1111112111111=1111111000000+1111111=1111111×（1000000+1）=1111111×1000001。

由上式知，111111和1000001都能整除1111112111111，所以1111112111111是合数。

2  有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。这个自然数最小是多少？

解析

根据已知条件可知，假如把这个自然数增加3，所得的数就正好能被10、7和4这三个数整除，即10、7和4的最小公倍数，然后再减去3就能得到所求的数了。

[10，7，4]=140

140－3=137

即：这个自然数最小是137。

3  把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？

解析

这要考虑到一些隐含着的限制条件，可以这样思考：

①要使14拆成的自然数的乘积最大，所拆成的数的个数要尽可能多，多一个可以多乘一次，但1不应出现，因为1与任何数的积仍为原数。

②拆出的加数不要超过4，例如5，它还可以拆成2和3，而2×3＞5，所以加数大于4的数还要继续拆小。

③由于4=2+2，又4=2×2，因此拆出的加数中可以不出现4。

④拆出的加数中2的个数不能多于两个。例如拆成三个2，不如拆成两个3.因为三个2的积为8，两个3的积为9，这就是说，应尽可能多拆出3。

因为14=3×4+2，所以把14拆成3、3、3、3、2时，积为3×3×3×3×2=162最大。

4  平面上有A、B、C、D、E、F六个点，其中没有三点共线，每两点之间任意选用红线或黄线连接，求证：不管怎样连接，至少存在一个三边同色的三角形。

解析

从任意一点比如点A出发，要向B.C、D、E、F连5条线段.因为只有两种颜色，所以根据抽屉原理，至少有3条线段同色。不妨设AB、AD、AE三线同红色（如右图）。如果B、D、E这三点之间所连的三条线段中有一条是红色的，则出现一个三边为红色的三角形。如果这三点之间所连线段都不是红色，那么就都是黄色的。这样，三角形BDE就是一个黄色的三角形。因此，不管如何连彩线，总可以找到一个三边同色的三角形。

5  某信号兵用红，黄，蓝，绿四面旗各一面，从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号。每次可挂一面，二面或三面，并且不同的顺序，不同的位置表示不同的信号（挂一面时可以选择上中下三个不同位置）．一共可以表示出多少种不同的信号？

解析

一共有三类：

挂一面时，从4种颜色种选一种挂在3个位置中一个位置上，有4×3=12种不同的信号；

挂两面时，从4种颜色种选两种，有3+2+1=6种方法，两面旗子放在三个位置有3×2×1=6种方法，故有6×6=36种不同的信号；

挂三面时，从4种颜色种选三种有4种方法，三面旗子放在三个位置有3×2×1=6种方法，有4×6=24种不同的信号；

因此共有12+36+24=72种不同的信号。