姜萍数学竞赛题目解答

威冬娃

该图包含需要证明的数学等式。等式为：

\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(\pi k + \frac{w}{2})^2} = \csc^2 \left( \frac{w}{2} \right) \quad (w \neq 0, \; w \in \mathbb{R})

为了证明这个等式，我们将使用泊松求和公式，该公式将函数在所有整数处的求和与其傅里叶变换在所有整数处的求和联系起来。

证明步骤

        1.        泊松求和公式：
泊松求和公式表述如下：

\sum_{k=-\infty}^{+\infty} f(k) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{f}(2\pi n)

其中 ( \hat{f} ) 是 ( f ) 的傅里叶变换。
        2.        选择合适的函数 ( f(x) )：
选择 ( f(x) = \frac{1}{(x + \frac{w}{2\pi})^2} )。
        3.        计算傅里叶变换 ( \hat{f}(x) )：
( f(x) ) 的傅里叶变换为：

\hat{f}(k) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-ikx} \, dx

对于我们的函数，它简化为：

\hat{f}(k) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-ikx}}{(x + \frac{w}{2\pi})^2} \, dx

        4.        应用留数定理：
为了求解这个积分，应用复分析中的留数定理。被积函数在 ( x = -\frac{w}{2\pi} ) 处有二阶极点。
        5.        简化求和：
使用泊松求和公式，可以将对  k  的求和转换为对傅里叶变换在整数倍  2\pi  处的求和。
        6.        评估结果：
通过这些步骤的结果，将得出：

\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(\pi k + \frac{w}{2})^2} = \csc^2 \left( \frac{w}{2} \right)

这个证明涉及傅里叶分析和复分析中的高级技巧，特别是使用泊松求和公式和留数定理。每一步的详细计算将确认给定的恒等式。