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抽屉原理(2)

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发表于 2014-10-5 18:09:51 | 显示全部楼层 |阅读模式
抽屉原理二
“任意367个人中,必有生日相同的人。”

“从任意5双手套中任取6只,其中至少有2只恰为一双手套。”

“从数1,2,...,10中任取6个数,其中至少有2个数为奇偶性不同。”

... ...
大家都会认为上面所述结论是正确的。这些结论是依据什么原理得出的呢?这个原理叫做抽屉原理。它的内容可以用形象的语言表述为:

“把m个东西任意分放进n个空抽屉里(m>n),那么一定有一个抽屉中放进了至少2个东西。”

在上面的第一个结论中,由于一年最多有366天,因此在367人中至少有2人出生在同月同日。这相当于把367个东西放入 366个抽屉,至少有2个东西在同一抽屉里。在第二个结论中,不妨想象将5双手套分别编号,即号码为1,2,...,5的手套各有两只,同号的两只是一双。任取6只手套,它们的编号至多有5种,因此其中至少有两只的号码相同。这相当于把6个东西放入5个抽屉,至少有2个东西在同一抽屉里。

抽屉原理的一种更一般的表述为:

“把多于kn个东西任意分放进n个空抽屉(k是正整数),那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。”

利用上述原理容易证明:“任意7个整数中,至少有3个数的两两之差是3的倍数。”因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能,所以7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同,即它们两两之差是3的倍数。

如果问题所讨论的对象有无限多个,抽屉原理还有另一种表述:

“把无限多个东西任意分放进n个空抽屉(n是自然数),那么一定有一个抽屉中放进了无限多个东西。”

抽屉原理的内容简明朴素,易于接受,它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。

1958年6/7月号的《美国数学月刊》上有这样一道题目:

“证明在任意6个人的集会上,或者有3个人以前彼此相识,或者有三个人以前彼此不相识。”

这个问题可以用如下方法简单明了地证出:

在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任意6个人。如果两人以前彼此认识,那么就在代表他们的两点间连成一条红线;否则连一条蓝线。考虑A点与其余各点间的5条连线AB,AC,...,AF,它们的颜色不超过2种。根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色,不妨设AB,AC,AD同为红色。如果BC,BD ,CD 3条连线中有一条(不妨设为BC)也为红色,那么三角形ABC即一个红色三角形,A、B、C代表的3个人以前彼此相识:如果BC、BD、CD 3条连线全为蓝色,那么三角形BCD即一个蓝色三角形,B、C、D代表的3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发生,都符合问题的结论。

六人集会问题是组合数学中著名的拉姆塞定理的一个最简单的特例,这个简单问题的证明思想可用来得出另外一些深入的结论。这些结论构成了组合数学中的重要内容-----拉姆塞理论。从六人集会问题的证明中,我们又一次看到了抽屉原理的应用。
抽屉原理例题
在1 3 5 7 …… 97 99这50个奇数中。最多能取出多少个数,使其中任何一个都不是另一个的倍数?
解:99,97,95,93,91,89,87,85,83,81,79,77,75,73,71,69,67,65,63,61,59,57,55,53,51,49,47,45,43,41,39,37,35,共计33个数字,
具体分析:这个题有一定的规律:从99开始分析,99是33,11,9,3,1的倍数,97是1的倍数,95是19,5,1的倍数,93是31,3,1的倍数,91是13,7,1的倍数,89是1的倍数,87是29,3,1的倍数,。。。。。依次类推,你会发现33以下都会被除,所以最多有33个数!
口袋中有8只白球,7只红球和5只黄球.为了使口袋中至少还有4只同色的球,以及至少还有3只另一种颜色的球.问:至多能从口袋中取出几只球?
解:至多7只球
还剩13只至多8个白球,那么红球和黄球至少5个,至少有一种有3个,如果白球少于4个,红黄两色至少10个,红球至多7个,还剩3个黄球,满足条件
8只球不行因为剩下的可能是:8白球 2红球 2黄球
从1至36这36个数中最多可以取出( )个数, 使得这些数中没有2个数的差是5的倍数 .
解:当第一个数字取1的时候 将有6 11 16 21 26 31 36 这7个数字不能取,这时候就只能从剩下的36-7-1个数字中取了,当取2的时候,有7 12 17 22 27 32 这六个数字不能取了,只能从剩下的19个数字里取,以此类推 当取3或者4的时候,都有6个数字不能取 当取5的时候,有10 15 20 25 30 35 五个数字不能取,所以结果为36-7-3*6-5+已经取出来的5个数字=11个
从1、2、3、4……2004、2005这些自然数中,最多可以取( )个数,其中每2个数的差不等于4。
解:此题可上题推论而得到答案:404个
一次测验,共有10道问答题,每题的评分标准是:回答完全正确得5分;回答不完全正确得3分;回答完全错误或不回答得0分。( )人参加这次测验,才能保证有2人的得分相同。
解:我们知道总共有这几种得分情况:答对1题,2题,3题,....,10题.
假设每个人的得分情况都不一样,则会有10个人的分数都不同,那么第十一个人的得分情况必定就会和另外10个人中的某人相同,所以答案为11人 。


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