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判断269,437,1111112111111三个数是合数还是质数。

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发表于 2014-10-11 22:13:13 | 显示全部楼层 |阅读模式
269是质数,437=19×23是合数
1111112111111 = 1111111×1000001 = 239×4649×101×9901
自然数1111112111111是合数
1  判断数1111112111111是质数还是合数?
解析
根据合数的意义,如果一个数能够写成两个大于1的整数的乘积,那么这个数是合数。
根据整数的意义,这个13位数可以写成:
1111112111111=1111111000000+1111111=1111111×(1000000+1)=1111111×1000001。
由上式知,111111和1000001都能整除1111112111111,所以1111112111111是合数。
2  有一个自然数,被10除余7,被7除余4,被4除余1。这个自然数最小是多少?
解析
根据已知条件可知,假如把这个自然数增加3,所得的数就正好能被10、7和4这三个数整除,即10、7和4的最小公倍数,然后再减去3就能得到所求的数了。
[10,7,4]=140
140-3=137
即:这个自然数最小是137。
3  把14拆成几个自然数的和,再求出这些数的乘积,如何拆可以使乘积最大?
解析
这要考虑到一些隐含着的限制条件,可以这样思考:
①要使14拆成的自然数的乘积最大,所拆成的数的个数要尽可能多,多一个可以多乘一次,但1不应出现,因为1与任何数的积仍为原数。
②拆出的加数不要超过4,例如5,它还可以拆成2和3,而2×3>5,所以加数大于4的数还要继续拆小。
③由于4=2+2,又4=2×2,因此拆出的加数中可以不出现4。
④拆出的加数中2的个数不能多于两个。例如拆成三个2,不如拆成两个3.因为三个2的积为8,两个3的积为9,这就是说,应尽可能多拆出3。
因为14=3×4+2,所以把14拆成3、3、3、3、2时,积为3×3×3×3×2=162最大。
4  平面上有A、B、C、D、E、F六个点,其中没有三点共线,每两点之间任意选用红线或黄线连接,求证:不管怎样连接,至少存在一个三边同色的三角形。
解析
从任意一点比如点A出发,要向B.C、D、E、F连5条线段.因为只有两种颜色,所以根据抽屉原理,至少有3条线段同色。不妨设AB、AD、AE三线同红色(如右图)。如果B、D、E这三点之间所连的三条线段中有一条是红色的,则出现一个三边为红色的三角形。如果这三点之间所连线段都不是红色,那么就都是黄色的。这样,三角形BDE就是一个黄色的三角形。因此,不管如何连彩线,总可以找到一个三边同色的三角形。
5  某信号兵用红,黄,蓝,绿四面旗各一面,从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号。每次可挂一面,二面或三面,并且不同的顺序,不同的位置表示不同的信号(挂一面时可以选择上中下三个不同位置).一共可以表示出多少种不同的信号?
解析
一共有三类:
挂一面时,从4种颜色种选一种挂在3个位置中一个位置上,有4×3=12种不同的信号;
挂两面时,从4种颜色种选两种,有3+2+1=6种方法,两面旗子放在三个位置有3×2×1=6种方法,故有6×6=36种不同的信号;
挂三面时,从4种颜色种选三种有4种方法,三面旗子放在三个位置有3×2×1=6种方法,有4×6=24种不同的信号;
因此共有12+36+24=72种不同的信号。


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